Suppression d'un arbre B

Dans ce didacticiel, vous apprendrez à supprimer une clé d'un b-tree. Vous trouverez également des exemples pratiques de suppression de clés d'un arbre B en C, C ++, Java et Python.

La suppression d'un élément sur un arbre B se compose de trois événements principaux: la recherche du nœud où se trouve la clé à supprimer , la suppression de la clé et l'équilibrage de l'arborescence si nécessaire.

Lors de la suppression d'un arbre, une condition appelée sous - dépassement peut se produire. Un dépassement inférieur se produit lorsqu'un nœud contient moins que le nombre minimum de clés qu'il doit contenir.

Les termes à comprendre avant d'étudier l'opération de suppression sont:

Prédécesseur en ordre
La plus grande clé de l'enfant gauche d'un nœud est appelé son prédécesseur en ordre.
Inorder Successor
La plus petite clé sur l'enfant droit d'un nœud est appelée son successeur inorder.

Opération de suppression

Avant de passer par les étapes ci-dessous, il faut connaître ces faits sur un arbre B de degré m .

Un nœud peut avoir un maximum de m enfants. (soit 3)
Un nœud peut contenir un maximum de m - 1clés. (soit 2)
Un nœud doit avoir un minimum d' ⌈m/2⌉enfants. (soit 2)
Un nœud (à l'exception du nœud racine) doit contenir un minimum de ⌈m/2⌉ - 1clés. (soit 1)

Il existe trois principaux cas d'opération de suppression dans un arbre B.

Cas I

La clé à supprimer se trouve dans la feuille. Il y a deux cas pour cela.

La suppression de la clé ne viole pas la propriété du nombre minimum de clés qu'un nœud doit contenir.
Dans l'arborescence ci-dessous, la suppression de 32 ne viole pas les propriétés ci-dessus. Suppression d'une clé feuille (32) de l'arbre B
La suppression de la clé viole la propriété du nombre minimum de clés qu'un nœud doit contenir. Dans ce cas, nous empruntons une clé à son nœud frère voisin immédiat dans l'ordre de gauche à droite.
Tout d'abord, visitez le frère ou la sœur gauche immédiate. Si le nœud frère gauche a plus d'un nombre minimum de clés, empruntez une clé à ce nœud.
Sinon, cochez pour emprunter au nœud frère droit immédiat.
Dans l'arborescence ci-dessous, la suppression de 31 entraîne la condition ci-dessus. Empruntons une clé au nœud frère gauche. Suppression d'une clé feuille (31) Si les deux nœuds frères immédiats ont déjà un nombre minimum de clés, alors fusionner le nœud avec le nœud frère gauche ou le nœud frère droit. Cette fusion se fait via le nœud parent.
La suppression de 30 résultats dans le cas ci-dessus.
Supprimer une clé feuille (30)

Cas II

Si la clé à supprimer se trouve dans le nœud interne, les cas suivants se produisent.

Le nœud interne, qui est supprimé, est remplacé par un prédécesseur dans l'ordre si l'enfant de gauche a plus que le nombre minimum de clés. Suppression d'un nœud interne (33)
Le nœud interne, qui est supprimé, est remplacé par un successeur inorder si le bon enfant a plus que le nombre minimum de clés.
Si l'un des enfants a exactement un nombre minimum de clés, fusionnez les enfants gauche et droit.
Suppression d'un nœud interne (30) Après la fusion, si le nœud parent a moins que le nombre minimum de clés, recherchez les frères et sœurs comme dans le cas I.

Cas III

Dans ce cas, la hauteur de l'arbre diminue. Si la clé cible se trouve dans un nœud interne et que la suppression de la clé conduit à un nombre inférieur de clés dans le nœud (c'est-à-dire inférieur au minimum requis), recherchez le prédécesseur en ordre et le successeur en ordre. Si les deux enfants contiennent un nombre minimum de clés, l'emprunt ne peut pas avoir lieu. Cela conduit au cas II (3), à savoir la fusion des enfants.

Encore une fois, cherchez le frère à emprunter une clé. Mais, si le frère n'a également qu'un nombre minimum de clés, fusionnez le nœud avec le frère avec le parent. Disposez les enfants en conséquence (ordre croissant).

Suppression d'un nœud interne (10)

Exemples Python, Java et C / C ++

Python Java C C ++

 # Deleting a key on a B-tree in Python # Btree node class BTreeNode: def __init__(self, leaf=False): self.leaf = leaf self.keys = () self.child = () class BTree: def __init__(self, t): self.root = BTreeNode(True) self.t = t # Insert a key def insert(self, k): root = self.root if len(root.keys) == (2 * self.t) - 1: temp = BTreeNode() self.root = temp temp.child.insert(0, root) self.split_child(temp, 0) self.insert_non_full(temp, k) else: self.insert_non_full(root, k) # Insert non full def insert_non_full(self, x, k): i = len(x.keys) - 1 if x.leaf: x.keys.append((None, None)) while i>= 0 and k(0)  = 0 and k(0)  x.keys(i)(0): i += 1 self.insert_non_full(x.child(i), k) # Split the child def split_child(self, x, i): t = self.t y = x.child(i) z = BTreeNode(y.leaf) x.child.insert(i + 1, z) x.keys.insert(i, y.keys(t - 1)) z.keys = y.keys(t: (2 * t) - 1) y.keys = y.keys(0: t - 1) if not y.leaf: z.child = y.child(t: 2 * t) y.child = y.child(0: t - 1) # Delete a node def delete(self, x, k): t = self.t i = 0 while i x.keys(i)(0): i += 1 if x.leaf: if i < len(x.keys) and x.keys(i)(0) == k(0): x.keys.pop(i) return return if i = t: self.delete(x.child(i), k) else: if i != 0 and i + 2 = t: self.delete_sibling(x, i, i - 1) elif len(x.child(i + 1).keys)>= t: self.delete_sibling(x, i, i + 1) else: self.delete_merge(x, i, i + 1) elif i == 0: if len(x.child(i + 1).keys)>= t: self.delete_sibling(x, i, i + 1) else: self.delete_merge(x, i, i + 1) elif i + 1 == len(x.child): if len(x.child(i - 1).keys)>= t: self.delete_sibling(x, i, i - 1) else: self.delete_merge(x, i, i - 1) self.delete(x.child(i), k) # Delete internal node def delete_internal_node(self, x, k, i): t = self.t if x.leaf: if x.keys(i)(0) == k(0): x.keys.pop(i) return return if len(x.child(i).keys)>= t: x.keys(i) = self.delete_predecessor(x.child(i)) return elif len(x.child(i + 1).keys)>= t: x.keys(i) = self.delete_successor(x.child(i + 1)) return else: self.delete_merge(x, i, i + 1) self.delete_internal_node(x.child(i), k, self.t - 1) # Delete the predecessor def delete_predecessor(self, x): if x.leaf: return x.pop() n = len(x.keys) - 1 if len(x.child(n).keys)>= self.t: self.delete_sibling(x, n + 1, n) else: self.delete_merge(x, n, n + 1) self.delete_predecessor(x.child(n)) # Delete the successor def delete_successor(self, x): if x.leaf: return x.keys.pop(0) if len(x.child(1).keys)>= self.t: self.delete_sibling(x, 0, 1) else: self.delete_merge(x, 0, 1) self.delete_successor(x.child(0)) # Delete resolution def delete_merge(self, x, i, j): cnode = x.child(i) if j> i: rsnode = x.child(j) cnode.keys.append(x.keys(i)) for k in range(len(rsnode.keys)): cnode.keys.append(rsnode.keys(k)) if len(rsnode.child)> 0: cnode.child.append(rsnode.child(k)) if len(rsnode.child)> 0: cnode.child.append(rsnode.child.pop()) new = cnode x.keys.pop(i) x.child.pop(j) else: lsnode = x.child(j) lsnode.keys.append(x.keys(j)) for i in range(len(cnode.keys)): lsnode.keys.append(cnode.keys(i)) if len(lsnode.child)> 0: lsnode.child.append(cnode.child(i)) if len(lsnode.child)> 0: lsnode.child.append(cnode.child.pop()) new = lsnode x.keys.pop(j) x.child.pop(i) if x == self.root and len(x.keys) == 0: self.root = new # Delete the sibling def delete_sibling(self, x, i, j): cnode = x.child(i) if i 0: cnode.child.append(rsnode.child(0)) rsnode.child.pop(0) rsnode.keys.pop(0) else: lsnode = x.child(j) cnode.keys.insert(0, x.keys(i - 1)) x.keys(i - 1) = lsnode.keys.pop() if len(lsnode.child)> 0: cnode.child.insert(0, lsnode.child.pop()) # Print the tree def print_tree(self, x, l=0): print("Level ", l, " ", len(x.keys), end=":") for i in x.keys: print(i, end=" ") print() l += 1 if len(x.child)> 0: for i in x.child: self.print_tree(i, l) B = BTree(3) for i in range(10): B.insert((i, 2 * i)) B.print_tree(B.root) B.delete(B.root, (8,)) print("") B.print_tree(B.root)

 // Inserting a key on a B-tree in Java import java.util.Stack; public class BTree ( private int T; public class Node ( int n; int key() = new int(2 * T - 1); Node child() = new Node(2 * T); boolean leaf = true; public int Find(int k) ( for (int i = 0; i < this.n; i++) ( if (this.key(i) == k) ( return i; ) ) return -1; ); ) public BTree(int t) ( T = t; root = new Node(); root.n = 0; root.leaf = true; ) private Node root; // Search the key private Node Search(Node x, int key) ( int i = 0; if (x == null) return x; for (i = 0; i < x.n; i++) ( if (key < x.key(i)) ( break; ) if (key == x.key(i)) ( return x; ) ) if (x.leaf) ( return null; ) else ( return Search(x.child(i), key); ) ) // Split function private void Split(Node x, int pos, Node y) ( Node z = new Node(); z.leaf = y.leaf; z.n = T - 1; for (int j = 0; j < T - 1; j++) ( z.key(j) = y.key(j + T); ) if (!y.leaf) ( for (int j = 0; j = pos + 1; j--) ( x.child(j + 1) = x.child(j); ) x.child(pos + 1) = z; for (int j = x.n - 1; j>= pos; j--) ( x.key(j + 1) = x.key(j); ) x.key(pos) = y.key(T - 1); x.n = x.n + 1; ) // Insert the key public void Insert(final int key) ( Node r = root; if (r.n == 2 * T - 1) ( Node s = new Node(); root = s; s.leaf = false; s.n = 0; s.child(0) = r; Split(s, 0, r); _Insert(s, key); ) else ( _Insert(r, key); ) ) // Insert the node final private void _Insert(Node x, int k) ( if (x.leaf) ( int i = 0; for (i = x.n - 1; i>= 0 && k  = 0 && k x.key(i)) ( i++; ) ) _Insert(x.child(i), k); ) ) public void Show() ( Show(root); ) private void Remove(Node x, int key) ( int pos = x.Find(key); if (pos != -1) ( if (x.leaf) ( int i = 0; for (i = 0; i < x.n && x.key(i) != key; i++) ( ) ; for (; i = T) ( for (;;) ( if (pred.leaf) ( System.out.println(pred.n); predKey = pred.key(pred.n - 1); break; ) else ( pred = pred.child(pred.n); ) ) Remove(pred, predKey); x.key(pos) = predKey; return; ) Node nextNode = x.child(pos + 1); if (nextNode.n>= T) ( int nextKey = nextNode.key(0); if (!nextNode.leaf) ( nextNode = nextNode.child(0); for (;;) ( if (nextNode.leaf) ( nextKey = nextNode.key(nextNode.n - 1); break; ) else ( nextNode = nextNode.child(nextNode.n); ) ) ) Remove(nextNode, nextKey); x.key(pos) = nextKey; return; ) int temp = pred.n + 1; pred.key(pred.n++) = x.key(pos); for (int i = 0, j = pred.n; i < nextNode.n; i++) ( pred.key(j++) = nextNode.key(i); pred.n++; ) for (int i = 0; i < nextNode.n + 1; i++) ( pred.child(temp++) = nextNode.child(i); ) x.child(pos) = pred; for (int i = pos; i < x.n; i++) ( if (i != 2 * T - 2) ( x.key(i) = x.key(i + 1); ) ) for (int i = pos + 1; i < x.n + 1; i++) ( if (i != 2 * T - 1) ( x.child(i) = x.child(i + 1); ) ) x.n--; if (x.n == 0) ( if (x == root) ( root = x.child(0); ) x = x.child(0); ) Remove(pred, key); return; ) ) else ( for (pos = 0; pos key) ( break; ) ) Node tmp = x.child(pos); if (tmp.n>= T) ( Remove(tmp, key); return; ) if (true) ( Node nb = null; int devider = -1; if (pos != x.n && x.child(pos + 1).n>= T) ( devider = x.key(pos); nb = x.child(pos + 1); x.key(pos) = nb.key(0); tmp.key(tmp.n++) = devider; tmp.child(tmp.n) = nb.child(0); for (int i = 1; i < nb.n; i++) ( nb.key(i - 1) = nb.key(i); ) for (int i = 1; i = T) ( devider = x.key(pos - 1); nb = x.child(pos - 1); x.key(pos - 1) = nb.key(nb.n - 1); Node child = nb.child(nb.n); nb.n--; for (int i = tmp.n; i> 0; i--) ( tmp.key(i) = tmp.key(i - 1); ) tmp.key(0) = devider; for (int i = tmp.n + 1; i> 0; i--) ( tmp.child(i) = tmp.child(i - 1); ) tmp.child(0) = child; tmp.n++; Remove(tmp, key); return; ) else ( Node lt = null; Node rt = null; boolean last = false; if (pos != x.n) ( devider = x.key(pos); lt = x.child(pos); rt = x.child(pos + 1); ) else ( devider = x.key(pos - 1); rt = x.child(pos); lt = x.child(pos - 1); last = true; pos--; ) for (int i = pos; i < x.n - 1; i++) ( x.key(i) = x.key(i + 1); ) for (int i = pos + 1; i < x.n; i++) ( x.child(i) = x.child(i + 1); ) x.n--; lt.key(lt.n++) = devider; for (int i = 0, j = lt.n; i < rt.n + 1; i++, j++) ( if (i < rt.n) ( lt.key(j) = rt.key(i); ) lt.child(j) = rt.child(i); ) lt.n += rt.n; if (x.n == 0) ( if (x == root) ( root = x.child(0); ) x = x.child(0); ) Remove(lt, key); return; ) ) ) ) public void Remove(int key) ( Node x = Search(root, key); if (x == null) ( return; ) Remove(root, key); ) public void Task(int a, int b) ( Stack st = new Stack(); FindKeys(a, b, root, st); while (st.isEmpty() == false) ( this.Remove(root, st.pop()); ) ) private void FindKeys(int a, int b, Node x, Stack st) ( int i = 0; for (i = 0; i < x.n && x.key(i) a) ( st.push(x.key(i)); ) ) if (!x.leaf) ( for (int j = 0; j < i + 1; j++) ( FindKeys(a, b, x.child(j), st); ) ) ) public boolean Contain(int k) ( if (this.Search(root, k) != null) ( return true; ) else ( return false; ) ) // Show the node private void Show(Node x) ( assert (x == null); for (int i = 0; i < x.n; i++) ( System.out.print(x.key(i) + " "); ) if (!x.leaf) ( for (int i = 0; i < x.n + 1; i++) ( Show(x.child(i)); ) ) ) public static void main(String() args) ( BTree b = new BTree(3); b.Insert(8); b.Insert(9); b.Insert(10); b.Insert(11); b.Insert(15); b.Insert(20); b.Insert(17); b.Show(); b.Remove(10); System.out.println(); b.Show(); ) )

 // Deleting a key from a B-tree in C #include #include #define MAX 3 #define MIN 2 struct BTreeNode ( int item(MAX + 1), count; struct BTreeNode *linker(MAX + 1); ); struct BTreeNode *root; // Node creation struct BTreeNode *createNode(int item, struct BTreeNode *child) ( struct BTreeNode *newNode; newNode = (struct BTreeNode *)malloc(sizeof(struct BTreeNode)); newNode->item(1) = item; newNode->count = 1; newNode->linker(0) = root; newNode->linker(1) = child; return newNode; ) // Add value to the node void addValToNode(int item, int pos, struct BTreeNode *node, struct BTreeNode *child) ( int j = node->count; while (j> pos) ( node->item(j + 1) = node->item(j); node->linker(j + 1) = node->linker(j); j--; ) node->item(j + 1) = item; node->linker(j + 1) = child; node->count++; ) // Split the node void splitNode(int item, int *pval, int pos, struct BTreeNode *node, struct BTreeNode *child, struct BTreeNode **newNode) ( int median, j; if (pos> MIN) median = MIN + 1; else median = MIN; *newNode = (struct BTreeNode *)malloc(sizeof(struct BTreeNode)); j = median + 1; while (j item(j - median) = node->item(j); (*newNode)->linker(j - median) = node->linker(j); j++; ) node->count = median; (*newNode)->count = MAX - median; if (pos item(node->count); (*newNode)->linker(0) = node->linker(node->count); node->count--; ) // Set the value in the node int setValueInNode(int item, int *pval, struct BTreeNode *node, struct BTreeNode **child) ( int pos; if (!node) ( *pval = item; *child = NULL; return 1; ) if (item item(1)) ( pos = 0; ) else ( for (pos = node->count; (item item(pos) && pos> 1); pos--) ; if (item == node->item(pos)) ( printf("Duplicates not allowed"); return 0; ) ) if (setValueInNode(item, pval, node->linker(pos), child)) ( if (node->count linker(pos); for (; dummy->linker(0) != NULL;) dummy = dummy->linker(0); myNode->item(pos) = dummy->item(1); ) // Remove the value void removeVal(struct BTreeNode *myNode, int pos) ( int i = pos + 1; while (i count) ( myNode->item(i - 1) = myNode->item(i); myNode->linker(i - 1) = myNode->linker(i); i++; ) myNode->count--; ) // Do right shift void rightShift(struct BTreeNode *myNode, int pos) ( struct BTreeNode *x = myNode->linker(pos); int j = x->count; while (j> 0) ( x->item(j + 1) = x->item(j); x->linker(j + 1) = x->linker(j); ) x->item(1) = myNode->item(pos); x->linker(1) = x->linker(0); x->count++; x = myNode->linker(pos - 1); myNode->item(pos) = x->item(x->count); myNode->linker(pos) = x->linker(x->count); x->count--; return; ) // Do left shift void leftShift(struct BTreeNode *myNode, int pos) ( int j = 1; struct BTreeNode *x = myNode->linker(pos - 1); x->count++; x->item(x->count) = myNode->item(pos); x->linker(x->count) = myNode->linker(pos)->linker(0); x = myNode->linker(pos); myNode->item(pos) = x->item(1); x->linker(0) = x->linker(1); x->count--; while (j count) ( x->item(j) = x->item(j + 1); x->linker(j) = x->linker(j + 1); j++; ) return; ) // Merge the nodes void mergeNodes(struct BTreeNode *myNode, int pos) ( int j = 1; struct BTreeNode *x1 = myNode->linker(pos), *x2 = myNode->linker(pos - 1); x2->count++; x2->item(x2->count) = myNode->item(pos); x2->linker(x2->count) = myNode->linker(0); while (j count) ( x2->count++; x2->item(x2->count) = x1->item(j); x2->linker(x2->count) = x1->linker(j); j++; ) j = pos; while (j count) ( myNode->item(j) = myNode->item(j + 1); myNode->linker(j) = myNode->linker(j + 1); j++; ) myNode->count--; free(x1); ) // Adjust the node void adjustNode(struct BTreeNode *myNode, int pos) ( if (!pos) ( if (myNode->linker(1)->count> MIN) ( leftShift(myNode, 1); ) else ( mergeNodes(myNode, 1); ) ) else ( if (myNode->count != pos) ( if (myNode->linker(pos - 1)->count> MIN) ( rightShift(myNode, pos); ) else ( if (myNode->linker(pos + 1)->count> MIN) ( leftShift(myNode, pos + 1); ) else ( mergeNodes(myNode, pos); ) ) ) else ( if (myNode->linker(pos - 1)->count> MIN) rightShift(myNode, pos); else mergeNodes(myNode, pos); ) ) ) // Delete a value from the node int delValFromNode(int item, struct BTreeNode *myNode) ( int pos, flag = 0; if (myNode) ( if (item item(1)) ( pos = 0; flag = 0; ) else ( for (pos = myNode->count; (item item(pos) && pos> 1); pos--) ; if (item == myNode->item(pos)) ( flag = 1; ) else ( flag = 0; ) ) if (flag) ( if (myNode->linker(pos - 1)) ( copySuccessor(myNode, pos); flag = delValFromNode(myNode->item(pos), myNode->linker(pos)); if (flag == 0) ( printf("Given data is not present in B-Tree"); ) ) else ( removeVal(myNode, pos); ) ) else ( flag = delValFromNode(item, myNode->linker(pos)); ) if (myNode->linker(pos)) ( if (myNode->linker(pos)->count count == 0) ( tmp = myNode; myNode = myNode->linker(0); free(tmp); ) ) root = myNode; return; ) void searching(int item, int *pos, struct BTreeNode *myNode) ( if (!myNode) ( return; ) if (item item(1)) ( *pos = 0; ) else ( for (*pos = myNode->count; (item item(*pos) && *pos> 1); (*pos)--) ; if (item == myNode->item(*pos)) ( printf("%d present in B-tree", item); return; ) ) searching(item, pos, myNode->linker(*pos)); return; ) void traversal(struct BTreeNode *myNode) ( int i; if (myNode) ( for (i = 0; i count; i++) ( traversal(myNode->linker(i)); printf("%d ", myNode->item(i + 1)); ) traversal(myNode->linker(i)); ) ) int main() ( int item, ch; insertion(8); insertion(9); insertion(10); insertion(11); insertion(15); insertion(16); insertion(17); insertion(18); insertion(20); insertion(23); traversal(root); delete (20, root); printf(""); traversal(root); )

 // Deleting a key from a B-tree in C++ #include using namespace std; class BTreeNode ( int *keys; int t; BTreeNode **C; int n; bool leaf; public: BTreeNode(int _t, bool _leaf); void traverse(); int findKey(int k); void insertNonFull(int k); void splitChild(int i, BTreeNode *y); void deletion(int k); void removeFromLeaf(int idx); void removeFromNonLeaf(int idx); int getPredecessor(int idx); int getSuccessor(int idx); void fill(int idx); void borrowFromPrev(int idx); void borrowFromNext(int idx); void merge(int idx); friend class BTree; ); class BTree ( BTreeNode *root; int t; public: BTree(int _t) ( root = NULL; t = _t; ) void traverse() ( if (root != NULL) root->traverse(); ) void insertion(int k); void deletion(int k); ); // B tree node BTreeNode::BTreeNode(int t1, bool leaf1) ( t = t1; leaf = leaf1; keys = new int(2 * t - 1); C = new BTreeNode *(2 * t); n = 0; ) // Find the key int BTreeNode::findKey(int k) ( int idx = 0; while (idx < n && keys(idx) < k) ++idx; return idx; ) // Deletion operation void BTreeNode::deletion(int k) ( int idx = findKey(k); if (idx < n && keys(idx) == k) ( if (leaf) removeFromLeaf(idx); else removeFromNonLeaf(idx); ) else ( if (leaf) ( cout << "The key " << k  deletion(k); else C(idx)->deletion(k); ) return; ) // Remove from the leaf void BTreeNode::removeFromLeaf(int idx) ( for (int i = idx + 1; i n>= t) ( int pred = getPredecessor(idx); keys(idx) = pred; C(idx)->deletion(pred); ) else if (C(idx + 1)->n>= t) ( int succ = getSuccessor(idx); keys(idx) = succ; C(idx + 1)->deletion(succ); ) else ( merge(idx); C(idx)->deletion(k); ) return; ) int BTreeNode::getPredecessor(int idx) ( BTreeNode *cur = C(idx); while (!cur->leaf) cur = cur->C(cur->n); return cur->keys(cur->n - 1); ) int BTreeNode::getSuccessor(int idx) ( BTreeNode *cur = C(idx + 1); while (!cur->leaf) cur = cur->C(0); return cur->keys(0); ) void BTreeNode::fill(int idx) ( if (idx != 0 && C(idx - 1)->n>= t) borrowFromPrev(idx); else if (idx != n && C(idx + 1)->n>= t) borrowFromNext(idx); else ( if (idx != n) merge(idx); else merge(idx - 1); ) return; ) // Borrow from previous void BTreeNode::borrowFromPrev(int idx) ( BTreeNode *child = C(idx); BTreeNode *sibling = C(idx - 1); for (int i = child->n - 1; i>= 0; --i) child->keys(i + 1) = child->keys(i); if (!child->leaf) ( for (int i = child->n; i>= 0; --i) child->C(i + 1) = child->C(i); ) child->keys(0) = keys(idx - 1); if (!child->leaf) child->C(0) = sibling->C(sibling->n); keys(idx - 1) = sibling->keys(sibling->n - 1); child->n += 1; sibling->n -= 1; return; ) // Borrow from the next void BTreeNode::borrowFromNext(int idx) ( BTreeNode *child = C(idx); BTreeNode *sibling = C(idx + 1); child->keys((child->n)) = keys(idx); if (!(child->leaf)) child->C((child->n) + 1) = sibling->C(0); keys(idx) = sibling->keys(0); for (int i = 1; i n; ++i) sibling->keys(i - 1) = sibling->keys(i); if (!sibling->leaf) ( for (int i = 1; i n; ++i) sibling->C(i - 1) = sibling->C(i); ) child->n += 1; sibling->n -= 1; return; ) // Merge void BTreeNode::merge(int idx) ( BTreeNode *child = C(idx); BTreeNode *sibling = C(idx + 1); child->keys(t - 1) = keys(idx); for (int i = 0; i n; ++i) child->keys(i + t) = sibling->keys(i); if (!child->leaf) ( for (int i = 0; i n; ++i) child->C(i + t) = sibling->C(i); ) for (int i = idx + 1; i < n; ++i) keys(i - 1) = keys(i); for (int i = idx + 2; i n += sibling->n + 1; n--; delete (sibling); return; ) // Insertion operation void BTree::insertion(int k) ( if (root == NULL) ( root = new BTreeNode(t, true); root->keys(0) = k; root->n = 1; ) else ( if (root->n == 2 * t - 1) ( BTreeNode *s = new BTreeNode(t, false); s->C(0) = root; s->splitChild(0, root); int i = 0; if (s->keys(0) C(i)->insertNonFull(k); root = s; ) else root->insertNonFull(k); ) ) // Insertion non full void BTreeNode::insertNonFull(int k) ( int i = n - 1; if (leaf == true) ( while (i>= 0 && keys(i)> k) ( keys(i + 1) = keys(i); i--; ) keys(i + 1) = k; n = n + 1; ) else ( while (i>= 0 && keys(i)> k) i--; if (C(i + 1)->n == 2 * t - 1) ( splitChild(i + 1, C(i + 1)); if (keys(i + 1) insertNonFull(k); ) ) // Split child void BTreeNode::splitChild(int i, BTreeNode *y) ( BTreeNode *z = new BTreeNode(y->t, y->leaf); z->n = t - 1; for (int j = 0; j keys(j) = y->keys(j + t); if (y->leaf == false) ( for (int j = 0; j C(j) = y->C(j + t); ) y->n = t - 1; for (int j = n; j>= i + 1; j--) C(j + 1) = C(j); C(i + 1) = z; for (int j = n - 1; j>= i; j--) keys(j + 1) = keys(j); keys(i) = y->keys(t - 1); n = n + 1; ) // Traverse void BTreeNode::traverse() ( int i; for (i = 0; i traverse(); cout << " " 
 n == 0) ( BTreeNode *tmp = root; if (root->leaf) root = NULL; else root = root->C(0); delete tmp; ) return; ) int main() ( BTree t(3); t.insertion(8); t.insertion(9); t.insertion(10); t.insertion(11); t.insertion(15); t.insertion(16); t.insertion(17); t.insertion(18); t.insertion(20); t.insertion(23); cout << "The B-tree is: "; t.traverse(); t.deletion(20); cout << "The B-tree is: "; t.traverse(); )