Il y a de nombreuses années, j'ai travaillé chez Telxon avec Dave Strong. Dave avait mentionné que son grand-père exécuterait un tour où il demanderait à quelqu'un dans la pièce n'importe quel numéro. Il réfléchissait alors très fort et lentement mais délibérément à la construction d'une matrice 4x4. Chaque ligne, colonne et diagonale de nombres correspondrait exactement au nombre choisi. Ce type de figure s'appelle un carré magique.
Le grand-père de Dave était Walter Wills Strong. Il était avec le YMCA en Europe pendant la Première Guerre mondiale et étonnerait les troupes avec cette astuce mentale. Quand Dave m'a présenté le problème, j'ai trouvé une solution pour créer le carré magique de base avec les nombres 1 à 16 qui s'ajoute à 34. Cependant, le grand-père de Dave était capable de trouver un carré magique pour n'importe quel nombre. Maintenant, de nombreuses années plus tard, Dave a découvert la formule de la façon dont son grand-père a fait cette astuce. Avec un peu de pratique, vous pouvez apprendre le tour vous-même. L'astuce de cette semaine parlera des carrés magiques. Il montrera le processus utilisé par le grand-père de Dave. Il proposera également deux fichiers Excel. Un fichier Excel calcule rapidement un carré magique pour n'importe quel nombre. L'autre fichier Excel tente de reproduire la nature conjurante de la performance que le grand-père de Dave a dû donner,avec un sorcier barbu.
La théorie d'un carré magique de base
Une matrice de nombres 4x4 a deux diagonales. Dans l'image ci-dessous, une diagonale comprend les 4 carrés jaunes. Une diagonale comprend les 4 carrés rouges. Les 8 cellules de bord restantes sont de couleur verte.
Pour construire un carré magique pour 34, il vous suffit d'écrire les nombres de 1 à 16 dans l'ordre. Il y a une torsion facile. Si vous êtes sur le point d'écrire un nombre dans un carré jaune ou rouge, vous devrez écrire le nombre dans la cellule qui est diagonalement opposée à ce carré. Par exemple, le 1 qui irait dans le coin supérieur gauche tombe sur un carré jaune. La cellule en diagonale opposée à ce carré est en fait le 16e carré, dans le coin inférieur droit. Au lieu d'écrire le 1 dans le carré supérieur gauche, écrivez-le dans le carré inférieur droit.
Les deux nombres suivants, 2 et 3, tomberaient dans des carrés verts, alors écrivez-les à leur place normale. Le nombre 4 tomberait dans un carré rouge, donc au lieu de l'écrire dans le coin supérieur droit, écrivez le nombre 4 dans le coin inférieur gauche.
Le chiffre 5 est écrit à sa place. 6 et 7 doivent se déplacer en diagonale, et 8 est écrit à sa place.
Continuez ce modèle pour les nombres 9 à 16. Vous vous retrouvez finalement avec un simple carré magique qui ajoute jusqu'à 34 dans toutes les directions
Une torsion intéressante
Le grand-père de Dave avait un peu une torsion là-dessus. Pour le grand-père de Dave, il avait la règle inverse. Tout ce qui tombait sur un carré rouge ou jaune était écrit au bon endroit. Tout ce qui tombait sur une cellule du bord vert était écrit dans le carré diagonalement opposé. Son carré de base aurait ressemblé à celui-ci.
Je vous suggère d'apprendre l'un des deux modèles ci-dessus et de vous y tenir. J'utiliserai le modèle où les nombres dans les diagonales rouges ou jaunes sont écrits en diagonale opposée à leur emplacement normal.
Créer un carré magique pour n'importe quel nombre
Le secret employé par le grand-père de Dave était d'ajuster son numéro de départ. Il a utilisé un calcul dans sa tête pour déterminer un nombre de départ autre que 1. Si vous pensez au calcul, chaque somme dans le carré magique est composée de 4 cellules. Si vous en ajoutiez une à chaque cellule, le carré magique totaliserait 38, car les 4 cellules seraient incrémentées de 1. Voici un carré magique créé en utilisant les nombres entiers de 2 à 17 au lieu de 1 à 16. Il totalise 38 au lieu de 34. Toutes les autres logiques restent les mêmes.
La clé pour créer un carré magique qui s'additionne à n'importe quel nombre est de faire varier le nombre de départ. Avec un peu d'algèbre, vous pouvez comprendre pourquoi le nombre de départ suit cette formule:
((Desired Number - 34) / 4 ) + 1Voici le classeur Excel pour créer n'importe quel Magic Square souhaité: AnyMagicSquare.xls.
Génie carré magique
Ce classeur utilise des macros Excel VBA. Pour que le génie fonctionne, vous devez autoriser l'exécution des macros lorsque vous ouvrez ce classeur. Pour activer les macros, procédez comme suit avant de télécharger le classeur.
- Ouvrez Excel
- Dans le menu, sélectionnez Outils> Macro> Sécurité
- Changez le paramètre sur Moyen
- Téléchargez et ouvrez le classeur
- Lorsque le classeur s'ouvre, vous serez informé de la présence de macros. Choisissez d'activer.
J'ai écrit ce programme pour simuler la performance donnée par le grand-père de Dave. Bien que ce ne soit pas aussi impressionnant que quelqu'un qui fait le calcul en personne avec un crayon et un papier, cela vous donne toujours une idée de la façon dont la performance se déroulerait. Cliquez sur le Génie pour démarrer et il vous demandera un numéro. Le Génie réfléchit alors au problème.
Le génie commence lentement à remplir les chiffres.
Lorsque les lignes sont complétées, les totaux des lignes et des colonnes s'allument pour indiquer que les lignes sont correctes.
Finalement, le génie obtient le bon carré et propose d'en faire un autre.
Téléchargez une version zippée de Magic Square Genie.
Un conseil à Dave Strong et à son grand-père Walter Wills Strong pour avoir transmis cette technique.
Pour en savoir plus sur l'utilisation de VBA pour automatiser les problèmes d'Excel, consultez VBA et macros pour Microsoft Excel, rédigé par Bill Jelen et Tracy Syrstad.
Mise à jour à partir de décembre 2005
Une autre méthode utilisant uniquement des nombres entiers
En novembre 2005, Ray Battersby a écrit qu'il doit y avoir un moyen de faire un carré magique pour tout nombre supérieur à 30 en utilisant uniquement des entiers sans décimales. Ray a indiqué que vous pouviez ajouter une à quatre cellules spécifiques dans la matrice. Dans le Magic Square pour 34, arrangez les nombres dans l'ordre numérique et prenez toutes les autres cellules en commençant par la plus basse. Dans l'image ci-dessous, Ray a identifié les cellules contenant 1, 3, 5 et 7.
Pour changer cela en un carré magique pour 35, ajoutez-en un à chacune des cellules jaunes.
Pour utiliser la méthode de Ray, soustrayez 30 du résultat souhaité. Divisez ce nombre par 4. La partie entière devient le chiffre de départ et le reste devient le nombre que vous ajoutez aux quatre cellules jaunes. Par exemple, pour créer un carré magique pour 33:
- 33-30 est 3
- 3 divisé par 4 est 0 avec un reste de 3
- Le numéro de départ est 0 comme indiqué dans le résultat intermédiaire ci-dessous
- Ajoutez 3 à chacune des cellules jaunes comme indiqué dans le résultat final ci-dessous
Comme le note Ray, cela signifie que certains des chiffres sont répétés dans la matrice.
Merci à Ray d'avoir partagé cette méthode.
Mise à jour de janvier 2008
Richard Letsinger a écrit pour noter que la méthode de Ray fonctionnerait pour n'importe quel entier, positif ou négatif. La méthode n'est pas seulement limitée aux entiers supérieurs à 30.
